Производная и дифференциал вектор- функции

2.1. Производная вектор- функции в точке

Пусть вектор-функция определена в округи точки t0 , т.е. на не- котором интервале (α,β), , и пусть t принадлежит этой округи, но не совпадает с t0. Составим проиэведение скалярного множителя на вектор разности - : . Это произведение представляет собой вектор- функцию, определённую в проколотой округи точки t0 , и Производная и дифференциал вектор- функции можно ставить вопрос о сущест- вовании её предела при . В предстоящем выражение будем записывать в виде дроби: .

Определение. Если существует , то этот вектор именуют произ- аква вектор-функции в точке t0 .

Производную вектор-функции в точке t0 обозначают знаками и . Таким макаром,

Используя введённые в п.3 обозначения, можем записать:

= = = .

Установим Производная и дифференциал вектор- функции связь меж производной вектор-функции и производными её координатных функций.

Аксиома 7. (О связи производной вектор- функции с производными её коорди- натных функций) Пусть вектор-функция определена в округи t0 ­­, а x(t), y(t) и z(t) – её координатные функции. Тогда:

1) для того, чтоб была производная нужно и Производная и дифференциал вектор- функции довольно, чтоб существовали производные и ;

2) если производные и есть, то

=( , )

► Потому что - = (x(t)- x(t0), y(t)- y(t0), z(t) - z(t0)), то

= .

1) Необходимость. Пусть существует: . По тео- реме о покоординатной сходимости координаты вектора являются пределами при соответственных координатных функций , , вектор-функции . Означает, любая из дробей , , имеет при конечный Производная и дифференциал вектор- функции предел, т. е. производные и есть.

Достаточность. Пусть есть и , т.е. дроби , и имеют при пределами числа и соответственно. Тогда из аксиомы о покоординатной сходимости следует, что существует предел при вектор-функции , причём числа и являются его координатами, т.е. существует, причём

=( , ) ,

2) Это утверждение уже подтверждено, см. Достаточность. ◄

2.2.. Дифференцируемые вектор Производная и дифференциал вектор- функции-функции

Пусть - скалярная функция, определенная в округи . t0 ­, а μ – - некое положительное число. Если , то молвят, что при есть “о маленькое” от и при всем этом записывают: = ( ).

Сформулируем аналогичное понятие для вектор- функций.

Пусть вектор-функция определена в округи . t0 ­­, а α1(t), α2(t) и α3(t) – её координатные функции: = (α1(t), α2(t), α3(t)). Пусть, дальше Производная и дифференциал вектор- функции, μ – некое положительное число.

Определение. Если , будем гласить, что при вектор-функция есть “о маленькое” от и при всем этом записывать: = ( ).

Замечание. Потому что ( см. Замечание к аксиоме 1). а - скалярная функция, то справедливо последующее утверждение: при вектор-функция есть “о маленькое” от и тогда только тогда, когда её длина при Производная и дифференциал вектор- функции есть “о маленькое” от .

Лемма. Чтоб при вектор-функция была “о малым” от , нужно и довольно, чтоб этим свойством обладала любая её координатная функция:

= ( ) .

► Имеем: . По аксиоме о покоординат- ной сходимости

. ◄

Определение. Вектор-функцию назовём дифференцируемой в точке t0 , если она определена в некой округи этой точки, и существует Производная и дифференциал вектор- функции вектор та- кой, что для приращения Δ (h) справедливо асимптотическое представление:

Δ (h) = h + (3) Тут , Δ (h) = - = - , а - некая вектор-функ- ция такая, что .

Аксиома 8.(Аспект дифференцируемости)Пусть вектор-функция определена в округи t0 . Чтоб была дифференцируемой в точке t0 , нужно и довольно, чтоб была производная .

► Необходимость. Пусть дифференцируема в точке t Производная и дифференциал вектор- функции0 . Заменив в форму- ле (3) на получим: - = + + ( ). Отсюда:

и .+ . Потому что = , то , т.е. производная существует и равна .

Достаточность. ­­,Пусть существует и пусть. x(t), y(t) и z(t) – координат- ные функции Тогда по аксиоме 6 есть производные и . Означает, эти скалярные функции дифференцируемы в точке t0; потому для Производная и дифференциал вектор- функции их прира- щений справедливы представления:


где , , - функции, удовлетворяющие условиям:

Отсюда:

- = (x(t0+h)- x(t0), y(t0+h)- y(t0), z(t0+h) - z(t0)) =

= ( ) =

= ( ) h + h ( , , ) =

= h +h ,

где = ( , , ). Ввиду критерий, которым удовлетворяют , , , можем записать: . Итак,

- = h +h ,

где . Заметим: , т.е. h = . Означает,

Δ (τ) = h + , (4) Получено представление (3), в Производная и дифференциал вектор- функции каком = . ◄

Следствие 1.Вектор в представлении (3) приращения дифференцируемой функции определяется единственным образом, а конкретно, = .

Этот итог уже получен, см. Необходимость.

Следствие 2.Если вектор-функция дифференцируема в точке , то суще- ствует вектор-функция , удовлетворяющая условиям , и такая, что справедливо представление Δ (τ) = h +h .

Существование уже подтверждено, см. Достаточность.

Следствие 3.Вектор-функция дифференцируема в точке Производная и дифференциал вектор- функции и тогда толь- ко тогда, когда в этой точке дифференцируемы её координатные функции.

Утверждение следует из доказанной аксиомы и аксиомы 7.

Замечание. Если вектор-функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.

Вправду, из (3) следует: ; означает (см. аксиому 6) , неп- рерывна в .

Пусть вектор- функции и Производная и дифференциал вектор- функции , также скалярная функция определе- ны в округи точки t0 . Пусть, дальше, -некоторое число, а - некий вектор. Введём обозначения: + ; ; ( , )- - скалярное произведение; [ , ] - векторное произведение.

Аксиома 9.(О действиях над дифференцируемыми вектор-функциями) Если , и дифференцируемы в точке t0 , то , , и также диф- ференцируемы в этой точке, причём

1) = + ;

2) = + ; а именно, если ≡ , то = ;

3) ( , ) + ( , ); а именно, если ≡ , то Производная и дифференциал вектор- функции ( , ).

4) [ , ] + [ , ]; а именно, если ≡ , то [ , ].

Подтверждения всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме. Из- ложим подтверждение утверждения 4).

► Пусть , . Тогда [ , ]= =

= . По условию аксиомы и дифференцируемы в точке t0 ; означает (см. следствие 3 аксиомы 8), в этой точке дифференцируемы их координатные функции. Отсюда вы-текает дифференцируемость в точке t0 функций = , = = и = , которые являются коорди Производная и дифференциал вектор- функции- натными функциями вектор-функции . Как следует (см. следствие 3 аксиомы 8), дифференцируема в точке t0 . Означает, существует производная , причём ( см. аксиому 7) = ( , ). Вычислив производные , , получим:

=( ) + ( ) = = [ , ] + [ , ] . ◄

Аксиома 10.(О производной сложной вектор-функции) Пусть скалярная функ- ция определена в округи , t0 , а вектор-функция определена в округи точки = . Если дифференцируема в точке , а Производная и дифференциал вектор- функции дифференцируема в точке t0 , то непростая вектор-функция дифференци- руема в точке t0 , причём .

► Пусть x(θ), y(θ) и z(θ) – координатные функции : = (x(θ), y(θ) ,z(θ)). Заметим: =( ). Потому что дифференцируема в точке , то в этой точке дифференцируемы её координатные функции ( см. следствие 3 аксиомы 8). По аксиоме о производной сложной скалярной функции суперпозиции Производная и дифференциал вектор- функции дифференцируемы в точке t0 , причём

. Сейчас можем записать:

( ) = ( ) =

= ( = . ◄

Определение. Будем гласить, что вектор-функция дифференцируема на интервале (α , β) , если она дифференцируема в каждой его точке. Будем гласить, что вектор-функция дифференцируема на секторе [α , β] , если она дифференцируе- ма на интервале (α , β) и, не считая того, есть однобокие производные

и .

Аксиома 11. Пусть вектор-функция Производная и дифференциал вектор- функции непрерывна на секторе [α , β] и диф- ференцируема на интервале (α , β) . Тогда существует точка (α , β) такая, что справедливо неравенство:

.

► Разглядим скалярную функцию f(t), заданную на [α , β] равенством: f(t) = ( , ). Из условия аксиомы вытекает, что f(t) непрерывна на секторе [α , β] и дифференцируема на интервале (α , β) . По аксиоме Лагранжа существует точ- ка (α , β) такая, что справедлива Производная и дифференциал вектор- функции формула конечных приращений: f(β) - fα) = = .Отсюда : | f(β) - fα) | = | . Делая упор на характеристики скалярно- го произведения, можем записать :

f(β) – f(α) = ( , ) = ;

| |(( , )| | | | . Отсюда и из равенства | f(β) - fα) | = | следует:

| | | . Сократив на | , получим неравенство, которое и требовалось обосновать. ◄

Аксиома 12.Пусть вектор-функция удовлетворяет на интервале (α , β) ус- ловию: , где С≥ 0. Если дифференцируема на интервале Производная и дифференциал вектор- функции (α , β), то при всяком скалярное произведение ( , ) равно нулю.

► Разглядим скалярную функцию f(t), заданную на (α , β) равенством: f(t) = ( , ) = . Разумеется, f(t) на (α , β), и поэтому на (α , β). Но ( , ) = ( , ) + ( , )= 2 ( , ). Отсюда:

( , ) на (α , β). ◄

Замечание. Если при соблюдении критерий этой аксиомы оба вектора и ненулевые, то они ортогональны.

2.3. Дифференциал вектор- функции

Пусть вектор-функция дифференцируема в точке t0 , t0 .

Определение Производная и дифференциал вектор- функции. Дифференциалом вектор-функции в точке t0 назовём произ- ведение h, где h = Δt – приращение аргумента t.

Обозначать дифференциал будем знаками d либо d , выделив во вто- ром знаке то событие, что дифференциал представляет собой вектор-функ- цию аргумента h , определённую на всей числовой оси равенством d = h либо, потому Производная и дифференциал вектор- функции что приращение h = Δt независящей переменной t равно дифференциалу d t, равенством d = d t. Заметим ещё, что формулу (4) сейчас можно записать в виде:

Δ (h) = d + .

Из утверждений аксиомы 9 вытекают последующие правила вычисления диффе- ренциалов в точке : Если + ; ; ( , ) и [ , ] , то

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Иэ аксиомы 10 вытекает инвариантность формы дифференциала вектор-функ- ции Производная и дифференциал вектор- функции. Вправду, пусть - скалярная функция, дифференцируемая в точке , а дифференцируема в точке t0 , где .Тогда непростая вектор-функ- ция дифференцируема в точке , причём . Отсюда, потому что , получим: . Таким обра- зом, формула справедлива и в этом случае, когда аргумент вектор-функ- ции является зависимой переменной.

2.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть вектор Производная и дифференциал вектор- функции-функция дифференцируема в округи точки , , т.е. на неком интервале , . Сопоставив каждому t, , вектор , мы определим на новейшую вектор-функцию, которую именуют производной от вектор-функции и обозначают через , либо через , либо через .

Если производная дифференцируема в точке , то производную от в точке именуют производной второго порядка Производная и дифференциал вектор- функции от вектор-функции в точке и обозначают через . Если производная дифференцируема в каждой точке интервала , то на существует производная от вектор-функции ; эту производную именуют производной второго порядка от вектор-функции и обозначают через , либо через , либо через . Вообщем, при всяком натуральном n, , производной порядка n от вектор-функции Производная и дифференциал вектор- функции именуют производную от производной порядка этой вектор-функции, обозначая ее через , либо через , либо через .

Определение 5. Будем гласить, что вектор-функция n, , раз дифференцируема в точке , , если в точке есть производные от до порядка n включительно.

Для скалярных функций аналогичное понятие введено в §10 гл.1. Заметим, что n-кратная дифференцируемость вектор Производная и дифференциал вектор- функции- функции в точке значит, что и ее производные определены и дифференцируемы в некой округи и, не считая того, производная дифференцируема в точке .

Упражнение. Обосновать утверждения:

I. Пусть вектор-функция определена в некой округи , . Тогда:

1) ( n раз дифференцируема в точке ) Û ( , и n раз дифференцируемы в точке );

2) ( n раз диффере


proizvoditelnost-truda-i-effektivnost-ispolzovaniya-trudovih-resursov-predpriyatiya.html
proizvoditelnost-truda-pokazateli-i-metodi-izmereniya.html
proizvoditelnost-truda.html